1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+m-4=0\) với m là tham số. a) Chứng minh với mọi m, phương

Câu hỏi số 273115:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+m-4=0\) với m là tham số.

a) Chứng minh với mọi m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho \(\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right).\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2.\)

2) Giải phương trình: \(6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-{{x}^{2}}+x+6}.\)

A. 1) b) \(m=\pm 2\)

2) \(x=2.\)

B. 1) b) \(m=\pm 2\)

2) \(x=9\)

C. 1) b) \(m=\pm 6\)

2) \(x=2.\)

D. 1) b) \(m=\pm 5\)

2) \(x=6.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273115

Phương pháp giải

1) a) Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt \(\Delta >0.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi hệ thức của bài cho để làm bài toán.

2) Đặt điều kiện sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+m-4=0\) với m là tham số.

a) Ta có: \(\Delta ={{m}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+m-4 \right)=5{{m}^{2}}-4m+16\)

\(={{m}^{2}}+4{{m}^{2}}-4m+1+15={{m}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+15.\)

Vì \({{m}^{2}}\ge 0,\ \ {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall m\Rightarrow \Delta >0\ \forall m\Rightarrow \) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-4 \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right| \right)}^{2}}=4 \\ & \Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{1}^{2}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4\ \ \ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)

Ta có: \(-{{m}^{2}}+m-4=-\left( {{m}^{2}}-m \right)-4=-{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}-4=-{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{15}{4}<0.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-4<0\Rightarrow \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m+4. \\ & \Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2. \\\end{align}\)

Vậy \(m=\pm 2\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

2) Giải phương trình: \(6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-{{x}^{2}}+x+6}\)

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
3 - x \ge 0\\
- {x^2} + x + 6 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \le 3\\
- 2 \le x \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3.\)

\(Pt\Leftrightarrow 6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 3-x \right)}\ \ \ \left( * \right).\)

Đặt:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {3 - x} = b\;\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = x + 2\\
{b^2} = 3 - x
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = x + 2 + 3 - x = 5.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
6a + 3b = 3{a^2} - 5 + 4ab
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
3{a^2} + 4ab - 6a - 3b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
3{a^2} + 4ab - 6a - 3b + {a^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
4{a^2} + 4ab + {b^2} - 3\left( {2a + b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
{\left( {2a + b} \right)^2} - 3\left( {2a + b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\;\;\;\left( 1 \right)\\
\left[ \begin{array}{l}
2a + b = 5\\
2a + b = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(2a+b=5\Leftrightarrow b=5-2a\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {5 - 2a} \right)^2} = 5\\
\Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 20 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
a = 5\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 5\\
b = - 5\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = 2\\
\sqrt {3 - x} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = 4\\
3 - x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right).
\end{array}\)

+) Với \(2a+b=-2\Leftrightarrow b=-2-2a\)

Vì \(a\ge 0\Rightarrow -2-2a<0\Rightarrow b<0\ \) mâu thuẫn với điều kiện \(b\ge 0\Rightarrow \) trường hợp này vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link