Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c+ab+ac+bc=6.\) CMR : \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge

Câu hỏi số 274061:

Vận dụng cao

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c+ab+ac+bc=6.\) CMR : \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:274061

Phương pháp giải

- Sử dụng bất đẳng thức Cô Si, chú ý mò ra dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 từ đó chọn các bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có : \({{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\ \ \forall \ x,\ y\in R.\)

Dấu’’=’’ xảy ra \(\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=y.\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :\(\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+1\ge 2a \\ & {{b}^{2}}+1\ge 2b \\ & {{c}^{2}}+1\ge 2c \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc \\ & {{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ac \\\end{align} \right.\Rightarrow 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1)\ge 2\left( a+b+c+ab+bc+ca \right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge 4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3.\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)

Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link