Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp (O), AD là đường kính của (O), H là trung điểm BC.
Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp (O), AD là đường kính của (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M. MO cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a) CMR: \(M{{D}^{2}}=MB.MC\).
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. CMR: B, H, D, P cùng thuộc một đường tròn.
c) CMR: O là trung điểm EF.
Quảng cáo
a) CMR: \(M{{D}^{2}}=MB.MC\).
Áp dụng định lý: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung = góc nội tiếp cùng chắn một cung ta có: \(\angle MDC=\angle MBD.\)
Xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta MCD\) ta có:
\(\begin{align} & \angle DMB\ \ chung \\ & \angle MDC=\angle MBD\ \ \left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta MDB\backsim \Delta MCD\ \ \left( g-g \right) \\ & \Rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{MC}{MD}\Rightarrow MB.MC=M{{D}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right). \\ \end{align}\)
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt AD tại P. CMR: B, H, D, P cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: HB = HC (gt) nên OH vuông BE (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung), lại có MD vuông OD (tính chất tiếp tuyến) nên: \(\angle OHM=\angle ODM={{90}^{0}}.\)
Do đó H, D nằm trên đường tròn đường kính OM.
Hay tứ giác \(OHDM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OM.\)
\(\Rightarrow \angle HDO=\angle HMO\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\().
Lại có: \(BP//OM\Rightarrow \angle HOB=\angle OMH\) (hai góc so le trong).
\(\Rightarrow \angle HBP=\angle HDP\ \left( =\angle OMH \right).\)
\(\Rightarrow HPDB\) là tứ giác nội tiếp hay \(H,\ P,\ B,\ D\) cùng thuộc một đường tròn.
c) CMR: O là trung điểm EF.
Ta có : Tứ giác BHDP nội tiếp (cmt) nên : \(\angle BHD=\angle BPD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Vì : EF // BP nên : \(\angle BPD=\angle EOD;\ \ \angle AOF=\angle EOD\Rightarrow \angle BPD=\angle FOA.\)
Lại có : \(\angle BDH=\angle OAF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\()
\(\begin{align} & \Rightarrow OAF\backsim \Delta HBD\ \ \left( g-g \right). \\ & \Rightarrow \frac{OA}{HB}=\frac{OF}{HD}\ \ \ \left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Mà \(\angle CHD={{180}^{0}}-\angle BHD={{180}^{0}}-\angle AOF=\angle AOE\) và \(\angle EOA=\angle HCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\()
\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta OAE\backsim \Delta HCD\ \left( g-g \right). \\ & \Rightarrow \frac{OA}{HC}=\frac{EO}{DH}\ \ \left( 2 \right) \\ \end{align}\)
Mặt khác có : \(HB=HC\ \ \left( gt \right)\ \ \ \left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) ta có : \(\frac{OF}{DH}=\frac{OE}{DH}\Rightarrow OE=OF\Rightarrow O\) là trung điểm của \(EF.\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
