Cho tam giác ABC có AB < AC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Trên cạnh AC lấy điểm
Cho tam giác ABC có AB < AC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh rằng BI = ID.
b) Tia DI cắt tia AB tại E. Chứng minh rằng \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\)
c) Chứng minh BD \(\parallel \) EC.
d) Cho \(\angle ABC=2\angle ACB.\) Chứng minh rằng AB + BI = AC.
Quảng cáo
a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp c – g – c, suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ là điều phải chứng minh.
b) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g – c – g, dựa vào kết quả của câu a.
c) Từ tính chất của tam giác cân chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau \(\to B\text{D}\parallel EC\)
d) Chứng minh tam giác DIC cân tại D, từ đó suy ra BI = DC, để chứng minh yêu cầu của bài toán.
a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI ta có:
\(\angle BAI=\angle DAI\) (theo giả thiết)
\(AB=A\text{D}\) (theo giả thiết)
AI: chung
\(\Rightarrow \Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ \ (c-g-c)\)
\(\Rightarrow BI=ID\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Vì \(\Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ (c-g-c)\) nên:
\(\angle ABI=\angle A\text{D}I\) (2 góc tương ứng) (1)
Mà: \(\angle ABE=\angle A\text{D}C={{180}^{0}}\) (2 góc bẹt) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\angle ABE-\angle ABI=\angle A\text{D}C-\angle ADI\Leftrightarrow \angle IBE=\angle IDC\)
Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta IDC\) ta có:
\(\angle IBE=\angle I\text{D}C\) (chứng minh trên)
\(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(BI=I\text{D}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (đpcm)
c) Ta có: BI = ID (chứng minh trên) \(\Rightarrow \Delta BI\text{D}\) cân tại \(I\Rightarrow \angle IBD=\angle IDB\) (tính chất của tam giác cân) (1)
Ta lại có: \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (chứng minh trên) \(\Rightarrow IE=IC\) (2 cạnh tương ứng) \(\Rightarrow \Delta IEC\) cân tại I
\(\Rightarrow \angle IEC=\angle ICE\) (tính chất của tam giác cân) (2)
Xét 2 tam giác \(\Delta IEC\) và \(\Delta IBD\) ta có:
\(\angle BID=\angle EIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(\angle IBD+\angle IDB+\angle BID=\angle IEC+\angle IC\text{E}+\angle EIC={{180}^{0}}\) (Tổng 3 góc của một tam giác bằng 1800) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(2\angle I\text{D}B+\angle BI\text{D}=2\angle IEC+\angle EIC\)
\(\Rightarrow \angle I\text{D}B=\angle IEC\ \ hay\ \ \angle E\text{D}B=\angle DEC\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
\(\Rightarrow B\text{D}\parallel EC\) (đpcm)
d) Ta có \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\)(chứng minh trên)
\(\Rightarrow \angle BEI=\angle DCI\) (2 góc tương ứng)
Lại có: \(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow \angle BEI+\angle BIE=\angle DCI+\angle DIC\) (*)
Xét tam giác BIE ta có:
\(\angle ABC=\angle BIE+\angle BEI\) (góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó) (**)
Từ (*) và (**) ta có: \(\angle ABC=\angle DCI+\angle DIC\) hay \(\angle ABC=\angle ACB+\angle DIC\)
Theo giả thiết, ta có: \(\angle ABC=2\angle ACB\)
\(\Rightarrow \angle DCI=\angle DIC\Rightarrow \Delta DIC\) cân tại \(D\Rightarrow DI=DC\)
Vì BI = ID (chứng minh trên) nên BI = DC.
\(\Rightarrow \) AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
