a) Xét các số dư của \(x,\ x-2y-1\) và \(y\) cho 5, từ đó biện luận mối quan hệ với

Câu hỏi số 276807:

Vận dụng

a) Xét các số dư của \(x,\ x-2y-1\) và \(y\) cho 5, từ đó biện luận mối quan hệ với \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\)

b) Xét tồn tại n để tổng 50 số là 50 thì bài toán được giải quyết. Xét \(n<50\) ta sẽ chia các trường hợp để suy ra: \({{a}_{n+1}}\ge 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276807

Giải chi tiết

a) Cho x, y là các số nguyên sao cho: \({{x}^{2}}-2xy-y;\ \ xy-2{{y}^{2}}-x\) đều chia hết cho 5. Chứng minh: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\) cũng chia hết cho 5.

Ta có: \(({{x}^{2}}-2xy-y)+(xy-2{{y}^{2}}-x)={{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}-x={{x}^{2}}+xy-\left( 2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( x+y \right)=(x+y)(x-2y-1).\)

Lại có \({{x}^{2}}-2xy-y,\ xy-2{{y}^{2}}-x\) chia hết cho 5.

\(\Rightarrow \left( x+y \right)\left( x-2y-1 \right)\) chia hết cho 5.

Do đó \(x+y\) và \(x-2y-1\) có ít nhất 1 số chia hết cho 5.

TH1: Nếu \(x+y\) chia hết cho 5 thì \(y\equiv -x\ \left( \bmod \ 5 \right)\Rightarrow 0\equiv {{x}^{2}}-2xy-y\equiv {{x}^{2}}+2{{x}^{2}}+x=x(3x+1)\ (\bmod \ \,5)\), do vậy x chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 3.

+) Nếu x chia hết cho 5 thì y cũng vậy, bài toán được chứng minh.

+) Nếu x chia 5 dư 3 thì y chia 5 dư 2, thì: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\equiv 2.9+4+2.3+2=30\equiv 0\ (\bmod \,\ 5).\)

Ta cũng có điều phải chứng minh.

TH2: Nếu \(x-2y-1\) chia hết cho 5 thì \(x\equiv 2y+1\ (\bmod \,5)\)

\(\Rightarrow 0\equiv {{x}^{2}}-2xy-y\equiv {{(2y+1)}^{2}}-2y(y+1)-y=y+1\ (mod\ \,5)\)

Do đó y chia 5 dư 4 và x cũng chia 5 dư 4 nên: \(2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y\equiv 2.16+16+2.4+4=60\equiv 0\ (\bmod \ \,5).\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Cho: \({{a}_{1}},{{a}_{2}},..,{{a}_{50}}\) là các số nguyên thỏa mãn: \(1 \le {a_1} \le {a_2} \le .... \le a{ _{50}} \le 50,\;{a_1} + {a_2} + ... + {a_{50}} = 100.\) Chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn được một vài số có tổng là 50.

Nếu tồn tại n: \(1\le n\le 50:{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=50\) thì kết luận bài toán hiển nhiên.

Xét: \(1\le n\le 49:\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\le 49 \\ & {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}\ge 51 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{a}_{n+1}}\ge 2.\)

\(\begin{align} & TH1:\ \ {{a}_{n+1}}=2\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=49. \\ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{50}}=49 \\ \end{align}\)

Nên nếu: \(n\le 24\Rightarrow {{a}_{1}}\le {{a}_{n+2}};{{a}_{2}}\le {{a}_{n+3}};....;{{a}_{n}}\le {{a}_{2n+1}}\)

\(\Rightarrow 49={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\le {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{2n+1}}<{{a}_{n+2}}+...+{{a}_{49}}+{{a}_{50}}\)

Điều này là vô lý nên:

\(\begin{align} & n\ge 25\Rightarrow 49={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}\ge n{{a}_{1}}\ge 25{{a}_{1}}\Rightarrow {{a}_{1}}<2\Rightarrow {{a}_{1}}=1 \\ & \Rightarrow {{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=48;\ \ \ \ {{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}=50. \\ \end{align}\)

TH2: \({{a}_{n+1}}\ge 3\)

\(\begin{align} & {{a}_{n+2}}+{{a}_{n+3}}+...+{{a}_{50}}=100-({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}})\le 49 \\ & \Rightarrow 49\ge (49-n){{a}_{n+2}}\ge (49-n).3\Rightarrow n\ge 33 \\ & \Rightarrow 49\ge ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{16}})+({{a}_{17}}+...+{{a}_{n}})\ge 16+(n-16){{a}_{17}}\ge 16+17{{a}_{17}} \\ & \Rightarrow {{a}_{17}}<2\Rightarrow {{a}_{17}}=1\Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{17}}=1. \\ \end{align}\)

Nếu \({{a}_{n+1}}\le 18,\) đặt \({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n+1}}=50+k\ \ (k\ge 1)\)

\(\begin{align} & \Rightarrow 18\ge {{a}_{n+1}}\ge (50+k)-49=k+1 \\ & \Rightarrow k\le 17\Rightarrow {{a}_{k+1}}+...+{{a}_{n+1}}=50. \\ \end{align}\)

Nếu \({{a}_{n+1}}\ge 19\)

\(\begin{align} & \Rightarrow 49\ge (49-n){{a}_{n+2}}\ge (49-n)19\to n\ge 47 \\ & \Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{45}}=1 \\ \end{align}\)

Vì nếu: \({{a}_{45}}\ge 2\Rightarrow ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{44}})+({{a}_{45}}+...+{{a}_{n}})\ge 44+(n-44){{a}_{45}}\ge 44+(47-44).2>49\)

Đặt: \({{a}_{n+1}}=50-k\ \ (0\le k\le 31)\Rightarrow {{a}_{1}}+...+{{a}_{k}}+{{a}_{n+1}}=50\ \ \left( do\ \ {{a}_{1}}=....={{a}_{k}}=1 \right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link