Một bác thợ muốn chế tạo một chiếc thùng đựng nước hình trụ, mặt xung quanh của thùng nước được cuộn từ những tấm nhôm hình chữ nhật có chu vi 4,8m. Hỏi bác thợ phải chọn tấm tôn có kích thước như thế nào để chiếc thùng đựng được nhiều nước nhất?

Câu 279122: Một bác thợ muốn chế tạo một chiếc thùng đựng nước hình trụ, mặt xung quanh của thùng nước được cuộn từ những tấm nhôm hình chữ nhật có chu vi 4,8m. Hỏi bác thợ phải chọn tấm tôn có kích thước như thế nào để chiếc thùng đựng được nhiều nước nhất?

A. 1,2m và 1,2m

B. 1,6m và 0,8m

C. 1,8m và 0,6m

D. 1,4m và 1,0m

Câu hỏi : 279122

Phương pháp giải:

+) Gọi chiều dài của tấm nhôm là x, tính chiều rộng của tấm nhôm theo x.

+) Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

+) Tính bán kính đáy của hình trụ.

+) Tính thể tích của hình trụ \(V = \pi {R^2}h\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi chiều dài của tấm tôn là x (m) (ĐK : \(1,2 \le x < 2,4\)) ta có chiều rộng của tấm tôn là \(2,4 - x\,\,\left( m \right)\).

Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

TH1: Hình trụ có chiều cao bằng \(2,4 - x\) và chu vi đáy bằng x

\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{x}{{2\pi }}\)

\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{x}{\pi }} \right)^2}.\left( {2,4 - x} \right) = \frac{1}{\pi }{x^2}\left( {2,4 - x} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {2,4 - x} \right) = 2,4{x^2} - {x^3}\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = 4,8x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 1,6 \in \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)

\(f\left( {1,6} \right) = 2,048 \Rightarrow {f_{\max }} = f\left( {1,6} \right) = 2,048\)

\( \Rightarrow \) Chiều dài và chiều rộng của tấm tôn lần lượt là 1,6m và 0,8m

TH2 : Hình trụ có chiều cao bằng x và chu vi đáy bằng \(2,4 - x\)

\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{2,4 - x}}{{2\pi }}\)

\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{2,4 - x}}{\pi }} \right)^2}x = \frac{1}{\pi }{\left( {2,4 - x} \right)^2}x\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2,4 - x} \right)^2} = {x^3} - 4,8{x^2} + 5,76x\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 9,6x + 5,76 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,4 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 0,8 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)

Vậy trường hợp này không thỏa mãn.

Chọn đáp án B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.