Cho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y }

Câu hỏi số 282233:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)

A. \(\begin{array}{l}a)\,\,P = 2\sqrt y + y\\b)\,\,P\,\, \le \,\,1\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a)\,\,P = 2\sqrt y - y\\b)\,\,P\,\, \le \,\,1\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a)\,\,P = 2\sqrt x - y\\b)\,\,P\,\, \le \,\,1\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)\,\,P = \sqrt y - y\\b)\,\,P\,\, \le \,\,1\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282233

Phương pháp giải

a) Đặt nhân tử chung, rút gọn các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Lấy kết quả vừa rút gọn được của biểu thức \(P,\;\)chứng minh \(P \le 1\) với mọi giá trị của \(x,y\) thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\)

b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)

Ta có: \(P \le 1\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt y - y \le 1 \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y + y \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.\)

Vậy \(P \le 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link