Giải phương trình: log2(17 + 34) + x = 2 + log2( 4x + 4).

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 2835:

Giải phương trình: log₂(17 $\sqrt{x+1}$ + 34 $\sqrt{3-x}$ ) + x = 2 + log₂( 4^x + 4).

A. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -4.

B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -3.

C. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

D. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2835

Giải chi tiết

Điều kiện : $\left\{\begin{matrix}-1\leqslant x\leq 3\\17\sqrt{x+1}+34\sqrt{3-x}> 0\end{matrix}\right.$ ⇔ -1 ≤ x ≤ 3.

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

log₂(17 $\sqrt{x+1}$ + 34 $\sqrt{3-x}$ ) = log₂4( 4^x + 4) – log₂2^x

⇔ log₂( 17 $\sqrt{x+1}$ + 34 $\sqrt{3-x}$ ) = log₂4( 2^x + 2^2-x)

⇔ 17( $\sqrt{x+1}$ + 2 $\sqrt{3-x}$ ) = 4( 2^x + 2^2-x) . (1)

Đặt 2^x = t ta có $\frac{1}{2}$ ≤ t ≤ 8, với -1 ≤ x ≤ 3.

Khi đó 4( 2^x + 2^2-x) = 4( t + $\frac{4}{t}$ ).

Xét hàm số f(t) = 4( t + $\frac{4}{t}$ ), với $\frac{1}{2}$ ≤t ≤ 8 ta có f(t) ≤ f( $\frac{1}{2}$ ) =f(8) = 34.

Hay 4( 2^x + 2^2-x) ≤ 34, với x ∈ [-1;3]. (2)

Tiếp theo, xét hàm số g(x) = 17( $\sqrt{x+1}$ + 2 $\sqrt{3-x}$ ), với x ∈ [-1;3] ta được g(x) ≥ g(3) =34.

Hay 17( $\sqrt{x+1}$ + 2 $\sqrt{3-x}$ ) ≥ 34, với x ∈ [-1;3]. (3)

Từ (2) và (3) suy ra phương trình (1) tương đương với

$\left\{\begin{matrix}4(2^{x}+2^{2-x})=34\\17(\sqrt{x+1}+2\sqrt{3-x})=34\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x=-1,x=3\\x=3\end{matrix}\right.$

⇔ x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.