Cho x, y là hai số thực thỏa mãn \(x + y \ge 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn \(x + y \ge 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\) .
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
\(P = 3\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\)
Ta tìm các hằng số \(m,n \in R\) sao cho \({x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = m{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + n{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}\,\,\,m{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + n{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\\ = m\left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2}} \right) + n\left( {{x^4} + {y^4} - 2{x^2}{y^2}} \right)\\ = \left( {m + n} \right)\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \left( {2m - 2n} \right){x^2}{y^2}\end{array}\)
Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 1\\2\left( {m - n} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{4}\\n = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = \frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l}P = 3\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1 \ge 3.\frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{9}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} + {y^2}\) ta có \({x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + 2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow t = {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}{.2^2} = 2\)
Khi đó \(P \ge \frac{9}{4}{t^2} - 2t + 1\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{9}{4}{t^2} - 2t + 1\) với \(t \ge 2\) ta có BBT :
Từ BBT ta có \(f\left( t \right) \ge 6 \Rightarrow P \ge 6\).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {x = y = 1} \right.\).
Vậy \(\min P = 6 \Leftrightarrow x = y = 1\).
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
