Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp

Câu hỏi số 284742:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\).

d) Tính số đo góc HEC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284742

Phương pháp giải

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất của tam giác cân để chứng minh

c) Chứng minh \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) là hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra điều phải chứng minh

Giải chi tiết

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

\( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \) \(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A

\( \Rightarrow \) AO vừa là phân giác \(\angle BAC\) vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\).

Ta có D đối xứng với B qua O \( \Rightarrow \) BD là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung

\( \Rightarrow \Delta BED \sim \Delta ABD\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{Ba}}.\)

d) Tính số đo góc HEC.

\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)

\( \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta AHB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{CD}}{{BH}}\) kết hợp c) \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}}\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}} \Rightarrow \Delta BHE \sim \Delta DCE \Rightarrow \angle BEH = \angle DEC\) (2 góc t.ư)

\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)

Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)

Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link