Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q =

Câu hỏi số 284745:

Vận dụng cao

Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\) .

A. \(\min Q = 2\)

B. \(\min Q = 1\)

C. \(\min Q = \frac{5}{{12}}\)

D. \(\min Q = \frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284745

Phương pháp giải

Biến đổi và ap dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\) .

\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}} = \frac{{2y + 3x}}{{xy}} + \frac{6}{{3x + 2y}} = \frac{{3x + 2y}}{6} + \frac{6}{{3x + 2y}}\)

Đặt \(t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y} \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6} = 12\)

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \(t \ge 12\) nên ta có:

\(Q = \frac{t}{6} + \frac{6}{t} = \left( {\frac{t}{6} + \frac{{24}}{t}} \right) - \frac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\frac{t}{6}.\frac{{24}}{t}} - \frac{{18}}{{12}} = \frac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2y}}{3}\\\frac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\frac{5}{2}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link