Cho \(A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x +

Câu hỏi số 284766:

Vận dụng

Cho \(A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\).

a) Rút gọn A. b) Tìm \(x \in Z\) để \(A \in Z\)

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16} \right\}
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,x \in \left\{ {4;16;36} \right\}
\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284766

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng phần thức và rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\).

Giải chi tiết

a) TXĐ: \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\;.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)

b) \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}\)

Để \(A \in Z \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x - 3\; \in U\left( 3 \right)\)

Mà \(\;U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).

TH1: \(\;\sqrt x - 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2: \(\;\sqrt x - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\,\,\left( {tm} \right)\)

TH3: \(\;\sqrt x - 3 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\)

TH4: \(\;\sqrt x - 3 = - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy để \(A \in Z\) thì \(x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link