Cho \(A = \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt x

Câu hỏi số 284767:

Vận dụng

Cho \(A = \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1.\)

a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A.

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
b)\,\,\max A = \dfrac{1}{3}
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
b)\,\,\max A = 3
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,\max A = \dfrac{1}{3}
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)\,\,\max A = 3
\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284767

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn biểu thức.

b) TH1: \(x = 0\)

TH2: \(x > 0\). Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt x \ne 0\). Sử dụng BĐT Cô – si để đánh giá.

Giải chi tiết

a) Với \(x \ge 0,x \ne 1:\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\\A = \dfrac{{x + 2 + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

b) Khi \(x = 0 \Rightarrow A = 0\).

Khi \(x > 0\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}\).

Để A max thì \(B = \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1\) min.

Áp dụng bất đăng thức Cô – si cho 2 số dương ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow B \ge 3 \Rightarrow A \le \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{1}{3}\). Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt x = \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link