Cho \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}}

Câu hỏi số 284768:

Vận dụng

Cho \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1.\)

a) Rút gọn A.

b) Tìm\(x \in Z\) để \(A \in Z\)

c) Tìm x để A đạt GTNN.

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;2} \right\}\\
c)\,\,\min A = - 1
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x = 0\\
c)\,\,\min A = - 1
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;\pm2} \right\}\\
c)\,\,\min A = 1
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;1} \right\}\\
c)\,\,\min A = - 1
\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284768

Giải chi tiết

a) Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\\A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{{x - 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

b) Có \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}},\,\,\,\left( {x \ge 0} \right).\)

Đặt \(B = \sqrt x + 1\), để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2.

Có \(B > 0\,\,do\,x \ge 0 \Rightarrow B = \left\{ {1;2} \right\}.\)

TH1: \(\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2: \(\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(x = 0\) thì A nguyên.

c) \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).

Ta có: \(\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x \ge 0} \right).\) Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{2}{1} \Rightarrow - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 2 \Rightarrow 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 1\)

\( \Rightarrow A \ge - 1\) dấu “=” xảy ra khi \(x = 0.\)

Vậy \(\min A = - 1\) khi \(x = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link