Cho \(A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} +

Câu hỏi số 284769:

Vận dụng

Cho \(A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.\)

a) Rút gọn A.

b) Tìm \(x \in Z\) để \(A \in Z\)

c) Tìm x để \(A < 0.\)

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0} \right\}\\
c)\,\,0 \le x < 4
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4} \right\}\\
c)\,\,0 < x < 4
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0;4} \right\}\\
c)\,\,0 \le x < 4
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\\
b)\,\,x \in \left\{ {0; \pm 4} \right\}\\
c)\,\,0 \le x < 4
\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284769

Phương pháp giải

a) Quy đồng, rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \dfrac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\).

c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện.

Giải chi tiết

a) Với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)

b) \(A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\left( {x \ge 0} \right)\)

Để \(A \in Z\) với x nguyên thì \(\sqrt x + 1\) là ước nguyên dương của 3 do \(\sqrt x + 1 > 0\)

.\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy với \(x = 0\) thì \(A \in Z\)

c) \(A < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0.\)

Do \(\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4.\)

Kết với \(x \ge 0\), suy ra \(A > 0 < = > 0 \le x < 4.\)

Vậy \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link