Cho hình thang vuông ABCD, đường cao \(AB = 2a\), đáy lớn \(BC = 3a\), đáy nhỏ \(AD = a\). 1) Tính các

Câu hỏi số 284995:

Vận dụng

Cho hình thang vuông ABCD, đường cao \(AB = 2a\), đáy lớn \(BC = 3a\), đáy nhỏ \(AD = a\).

1) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} ;\,\,\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} \).

2) Gọi I là trung điểm CD. Tính góc của AI và BD.

A. \(\begin{array}{l}a){35^0}\\b){90^0}\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a){30^0}\\b){20^0}\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a){30^0}\\b){90^0}\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a){65^0}\\b){90^0}\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284995

Phương pháp giải

1) Sử dụng công thức ba điểm và tính chất: Hai vectơ có giá vuông góc thì có tích vô hướng bằng 0.

Sử dụng công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)}\).

2) Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BD} \), chứng minh \(AI \bot BD\).

Giải chi tiết

1) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = 0 - A{B^2} + 0 = - {\left( {2a} \right)^2} = - 4{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \\ = 0 + AD.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right) = a.3a.\cos 0^\circ = 3{a^2}\end{array}\)

2) Gọi J là trung điểm của AB \( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của hình thang ABCD

\( \Rightarrow IJ = \frac{{AD + BC}}{2} = \frac{{a + 3a}}{2} = 2a\) và \(IJ \bot AB\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {JI} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {AD} \\ = - \frac{1}{2}.{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 0 + 0 + JI.AD.\cos 0^\circ \\ = - \frac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2} + 2a.a.1 = 0\\ \Rightarrow AI \bot BD \Rightarrow \left( {\widehat {AI;BD}} \right) = 90^\circ \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.