Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a

Câu hỏi số 284996:

Vận dụng

Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge \left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284996

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức : \({x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\,{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + b + \frac{3}{4} = {a^2} + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{2}\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{a^2}.\frac{1}{4}} + b + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\{b^2} + a + \frac{3}{4} = {b^2} + \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{b^2}.\frac{1}{4}} + a + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge {\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2}\end{array}\)

Mà \({\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {a + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 4\left( {a + \frac{1}{4}} \right)\left( {b + \frac{1}{4}} \right) = \left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\)\(\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right)\) \( \ge \) \(\left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\)\(\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.