Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a

Câu hỏi số 284996:

Vận dụng

Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge \left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284996

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức : \({x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\,{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + b + \frac{3}{4} = {a^2} + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{2}\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{a^2}.\frac{1}{4}} + b + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\{b^2} + a + \frac{3}{4} = {b^2} + \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{b^2}.\frac{1}{4}} + a + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge {\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2}\end{array}\)

Mà \({\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {a + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 4\left( {a + \frac{1}{4}} \right)\left( {b + \frac{1}{4}} \right) = \left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\)\(\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right)\) \( \ge \) \(\left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\)\(\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10