Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn: \(b + d \ne 0\) và \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2.\)

Câu hỏi số 285250:

Vận dụng cao

Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn: \(b + d \ne 0\) và \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2.\) Chứng minh rằng phương trình \(\left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285250

Phương pháp giải

- Để chứng minh phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

- Sử dụng tính chất : nếu tổng 2 số \( \ge A\) thì trong 2 số có 1 số \( \ge \dfrac{A}{2}\)

Giải chi tiết

Xét 2 phương trình \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b = 0\\{x^2} + cx + d = 0\end{array} \right.\)có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = {a^2} - 4b\\{\Delta _2} = {c^2} - 4d\end{array} \right.\)

Xét \({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d\).

Mà \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2 \Leftrightarrow ac \ge 2\left( {b + d} \right)\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right)\)

Ta có \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} \ge 2ac\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right) \ge 2ac - 4\left( {b + d} \right) \ge 4\left( {b + d} \right) - 4\left( {b + d} \right) = 0\\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\end{array}\)

Suy ra tồn tại 1 trong 2 số \({\Delta _1};{\Delta _2} \ge 0\)

Trong hai phương trình \({x^2} + ax + b = 0;\,\,{x^2} + cx + d = 0\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm.

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link