Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn: \(b + d \ne 0\) và \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2.\)

Câu hỏi số 285250:

Vận dụng cao

Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn: \(b + d \ne 0\) và \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2.\) Chứng minh rằng phương trình \(\left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285250

Phương pháp giải

- Để chứng minh phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

- Sử dụng tính chất : nếu tổng 2 số \( \ge A\) thì trong 2 số có 1 số \( \ge \dfrac{A}{2}\)

Giải chi tiết

Xét 2 phương trình \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b = 0\\{x^2} + cx + d = 0\end{array} \right.\)có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = {a^2} - 4b\\{\Delta _2} = {c^2} - 4d\end{array} \right.\)

Xét \({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d\).

Mà \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2 \Leftrightarrow ac \ge 2\left( {b + d} \right)\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} - 4b + {c^2} - 4d = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right)\)

Ta có \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} \ge 2ac\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = \left( {{a^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {b + d} \right) \ge 2ac - 4\left( {b + d} \right) \ge 4\left( {b + d} \right) - 4\left( {b + d} \right) = 0\\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\end{array}\)

Suy ra tồn tại 1 trong 2 số \({\Delta _1};{\Delta _2} \ge 0\)

Trong hai phương trình \({x^2} + ax + b = 0;\,\,{x^2} + cx + d = 0\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm.

\( \Rightarrow \left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) có nghiệm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link