Cho phương trình : \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Chứng minh

Câu hỏi số 285256:

Vận dụng cao

Cho phương trình : \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Chứng minh rằng:

1) Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = 1\); điều ngược lại có đúng không.

2) Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = - 1\); điều ngược lại có đúng không.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285256

Phương pháp giải

Xét các trường hợp \(a=0\) và \( a \ne 0\), giải phương trình trong mỗi trường hợp đó.

Giải chi tiết

1) Ta chứng minh: “Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = 1\)”

TH1: \(a = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b{x_0} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - b\\b{x_0} - b = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(b = c = 0 \Rightarrow 0{x_0} - 0 = 0\), phương trình có vô số nghiệm.

Nếu \(b \ne 0 \Rightarrow {x_0} = \dfrac{b}{b} = 1 \Rightarrow {x_0} = 1\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(a \ne 0\). Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

Vì \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow b = - a - c \Rightarrow \Delta = {\left( { - a - c} \right)^2} - 4ac = {a^2} + 2ac + {c^2} - 4ac = {\left( {a - c} \right)^2}\).

Nếu \(a = c \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm kép \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{a + c}}{{2a}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1\)

Nếu \(a \ne c \ne \Delta > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{a + c + a - c}}{{2a}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1\\{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{a + c - a + c}}{{2a}} = \dfrac{{2c}}{{2a}} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = 1\).

Ngược lại với \(x = 1\) thay vào phương trình \(a{x^2} + bx + c = a + b + c = 0\).

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình thì \(a + b + c = 0\), điều ngược lại đúng.

2) Ta chứng minh : “Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = - 1\)”

TH1: \(a = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b + c = 0\\b{x_0} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = b\\b{x_0} + b = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(b = c = 0 \Rightarrow 0{x_0} + 0 = 0\), phương trình có vô số nghiệm.

Nếu \(b \ne 0 \Rightarrow {x_0} = \dfrac{{ - b}}{b} = - 1 \Rightarrow {x_0} = - 1\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(a \ne 0\). Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

Vì \(a - b + c = 0 \Leftrightarrow b = a + c \Rightarrow \Delta = {\left( {a + c} \right)^2} - 4ac = {a^2} + 2ac + {c^2} - 4ac = {\left( {a - c} \right)^2}\).

Nếu \(a = c \Rightarrow \Delta = 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm kép \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2a}}{{2a}} = - 1\).

Nếu \(a \ne c \ne \Delta > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c + a - c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2c}}{{2a}} = \dfrac{{ - c}}{a}\\{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c - a + c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2a}}{{2a}} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = - 1\).

Ngược lại với \(x = - 1\) thay vào phương trình \(a{x^2} + bx + c = a - b + c = 0\).

Vậy \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình thì \(a - b + c = 0\), điều ngược lại đúng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link