Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) , đường cao \(MH\) . Biết \(MN = 3cm,\,NP = 5cm\). Gọi \(D,\,\,E\)

Câu hỏi số 285663:

Vận dụng

Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) , đường cao \(MH\) . Biết \(MN = 3cm,\,NP = 5cm\). Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(H\) xuống \(MN\) và \(MP\) .

a. Tính diện tích \(\Delta MNP\).

b. Chứng minh tứ giác \(M{\rm{D}}HE\) là hình chữ nhật.

c. Tính độ dài đoạn \(DE\) .

d. Gọi \(A\) là trung điển của \(HP\) . Tính \(\angle DE{\rm{A}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285663

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Py-ta-go, công thức diện tích tam giác, dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật, tính chất trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Giải chi tiết

a. Xét \({\Delta _v}MNP\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(M{P^2} + N{M^2} = N{P^2} \Rightarrow M{P^2} = N{P^2} - N{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow MP = 4\,cm.\)

Diện tích \(\Delta MNP\) có: \(\frac{{MP.MN}}{2} = \frac{{3.4}}{2} = 6\,c{m^2}\)

b. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot MP\\H{\rm{D}} \bot MN\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HEM = \angle H{\rm{D}}M = {90^0}\)

Xét tứ giác \(M{\rm{D}}HE\) có: \(\angle DME = \angle M{\rm{D}}H = \angle HEM = {90^0} \Rightarrow M{\rm{D}}HE\) là hình chữ nhật (dhnb)

c. Ta có: \({S_{MNP}} = \frac{1}{2}MN.MP = \frac{1}{2}MH.NP\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MH.NP = MN.MP\\ \Leftrightarrow MH.5 = 3.4\\ \Leftrightarrow MH = \frac{{12}}{5} = 2,4\;cm.\end{array}\)

Lại có \(MDHE\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow MH = DE = 2,4\;cm\)(hai đường chéo hình chữ nhật).

d. Vì \(M{\rm{D}}HE\) là hình chữ nhật (cmt)

\( \Rightarrow \angle DEH = \angle MHE\) (tính chất hình chữ nhật)

Xét \({\Delta _v}HEP\) có \(A\) là trung điểm của \(HP\left( {gt} \right) \Rightarrow E{\rm{A}}\) là đường trung tuyến của tam giác \(HEP.\)

\( \Rightarrow E{\rm{A}} = \frac{{HP}}{2} = HA\) (tính chất trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow \Delta HA{\rm{E}}\) là tam giác cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle A{\rm{E}}H\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(\angle MHE + \angle EHA = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DEH + \angle A{\rm{E}}H = {90^0} \Rightarrow \angle DE{\rm{A}} = {90^{^0}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link