Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \frac{x}{{1 - x}} +

Câu hỏi số 286853:

Vận dụng cao

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{4}{x}\)

A. Giá trị nhỏ nhất của M là 5

B. Giá trị nhỏ nhất của M là 6

C. Giá trị nhỏ nhất của M là 7

D. Giá trị nhỏ nhất của M là 8

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286853

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của M

Giải chi tiết

Ta có: \(M = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{4}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4 - 4x + 4x}}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \) \(\frac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\frac{x}{{1 - x}}\) và \(\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}.\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}} = 4\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x = - 2x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \frac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \frac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link