Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng d không qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai

Câu hỏi số 286852:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng d không qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286852

Phương pháp giải

a) Chứng minh C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO

b) Chứng minh EK là đường cao trong tam giác vuông CEO từ đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để suy ra điều phải chứng minh.

c) Chứng minh I là giao của 2 đường phân giác trong tam giác CEF

d) Chứng minh để tam giác CEF đều thì OC phải bằng một khoảng cố định nào đó từ đó suy ra vị trí của điểm C cần xác định

Giải chi tiết

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì H là trung điểm của dây cung AB của \(\left( O \right)\) nên OH vuông góc với AB, suy ra tam giác COH nội tiếp đường tròn đường kính CO (1)

Vì CE là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên CE vuông góc với OE, suy ra tam giác COE nội tiếp đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \) CO là đường trung trực của EF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK ta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\) (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì \(OI = OF = R\) nên tam giác OIE cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \) FI là phân giác của \(\angle CFE\) (3)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \) CI là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

Mà CI là phân giác của \(\angle ECF\) (cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giác FCO vuông tại F có \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểm C trên tia đối của tia AB sao cho \(OC = 2R\) thì tam giác CEF đều.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link