Giải phương trình sau : \(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } }

Câu hỏi số 291267:

Vận dụng cao

Giải phương trình sau : \(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } = x\)

A. \(x=\pm 3\)

B. \(x=3\)

C. \(x=-3\)

D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291267

Phương pháp giải

Xét 3 trường hợp: \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x > 3\\x < 3\end{array} \right.\)

So sánh 2 vế VT và VP từ đó suy ra nghiệm duy nhất x.

Giải chi tiết

\(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } = x\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện:

Xét 3 trường hợp:

TH1: \(x = 3\) thay vào \((*)\) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3.3} } } } } } = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2.3} } } } } = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2.3} } } = 3\\ \Leftrightarrow ......\\ \Leftrightarrow 3 = 3\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 3\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(x > 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x} < x + 2\sqrt {x.x} = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } < x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } < x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x < {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } < \sqrt {{x^2}} = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(x > 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH3: \(0 \le x < 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x} > x + 2\sqrt {x.x} = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } > x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } > x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x > {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } > \sqrt {{x^2}} = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(0 \le x < 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy \(x = 3\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link