Giải phương trình sau : \(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } }

Câu hỏi số 291267:

Vận dụng cao

Giải phương trình sau : \(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } = x\)

A. \(x=\pm 3\)

B. \(x=3\)

C. \(x=-3\)

D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291267

Phương pháp giải

Xét 3 trường hợp: \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x > 3\\x < 3\end{array} \right.\)

So sánh 2 vế VT và VP từ đó suy ra nghiệm duy nhất x.

Giải chi tiết

\(\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } = x\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện:

Xét 3 trường hợp:

TH1: \(x = 3\) thay vào \((*)\) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3.3} } } } } } = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2\sqrt {3 + 2.3} } } } } = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt {3 + ...... + 2.3} } } = 3\\ \Leftrightarrow ......\\ \Leftrightarrow 3 = 3\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 3\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(x > 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x} < x + 2\sqrt {x.x} = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } < x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x < {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } < x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x < {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } < \sqrt {{x^2}} = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(x > 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH3: \(0 \le x < 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + 2\sqrt {3x} > x + 2\sqrt {x.x} = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } > x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x > {x^2}\\ \Rightarrow x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } > x + 2\sqrt {{x^2}} = 3x > {x^2}\\.........\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } } > \sqrt {{x^2}} = x\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khi \(0 \le x < 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy \(x = 3\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link