Tìm tổng \(S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\).
Câu 291542: Tìm tổng \(S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\).
A. \(S = {1008^2}{.2017^2}\).
B. \(S = {1007^2}{.2017^2}\).
C. \(S = {1009^2}{.2017^2}\).
D. \(S = {1010^2}{.2017^2}\).
Quảng cáo
\({\log _{{a^c}}}b = \dfrac{1}{c}{\log _a}b,\,\,\,\,{\log _a}{b^c} = c{\log _a}b\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).
-
Đáp án : C(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^2}.2.{\log _2}2 + {3^2}.3{\log _2}2 + {4^2}.4.{\log _2}2 + ... + {2017^2}.2017.{\log _2}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3}\end{array}\)
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: \(1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4},\,\,\forall n \in {N^*}\)
Áp dụng với \(n = 2017\), ta có: \(S = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3} = \dfrac{{{{2017}^2}{{.2018}^2}}}{4} = {1009^2}{.2017^2}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
