Tìm tổng \(S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... +

Câu hỏi số 291542:

Vận dụng cao

Tìm tổng \(S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\).

A. \(S = {1008^2}{.2017^2}\).

B. \(S = {1007^2}{.2017^2}\).

C. \(S = {1009^2}{.2017^2}\).

D. \(S = {1010^2}{.2017^2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291542

Phương pháp giải

\({\log _{{a^c}}}b = \dfrac{1}{c}{\log _a}b,\,\,\,\,{\log _a}{b^c} = c{\log _a}b\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^2}.2.{\log _2}2 + {3^2}.3{\log _2}2 + {4^2}.4.{\log _2}2 + ... + {2017^2}.2017.{\log _2}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3}\end{array}\)

Bằng quy nạp, ta chứng minh được: \(1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4},\,\,\forall n \in {N^*}\)

Áp dụng với \(n = 2017\), ta có: \(S = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3} = \dfrac{{{{2017}^2}{{.2018}^2}}}{4} = {1009^2}{.2017^2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.