Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh a, tam giác \(A'BC\) đều và

Câu hỏi số 291564:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh a, tam giác \(A'BC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), M là trung điểm của cạnh \(CC'\). Tính cosin góc \(\alpha \)giữa hai đường thẳng AA’ và BM.

A. \(\cos \alpha = \dfrac{{2\sqrt {22} }}{{11}}\).

B. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt {11} }}{{11}}\).

C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).

D. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291564

Phương pháp giải

+) Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

+) Xác định góc giữa AA’ và BM.

+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có \(A'H = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Do \(AA'\)//\(CC'\) nên \(\left( {AA';BM} \right) = \left( {CC';BM} \right)\). Ta tính góc \(\widehat {BMC}\).

Vì M là trung điểm của CC’ nên \(CM = \dfrac{1}{2}CC' = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Gọi N là giao điểm của A’M với AC. Do \(CM\)//\(AA'\), \(CM = \dfrac{1}{2}AA'\)nên CM là đường trung bình \(\Delta AA'N \Rightarrow C\) là trung điểm của AN.

Ta có: \(A'C = AC = CN\) nên \(\Delta AA'N\) vuông tại A’, AN = 2a, \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Tương tự, \(\Delta ABN\) vuông tại B, \(AB = a,\,AN = 2a \Rightarrow BN = a\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta A'BN\) có: \(A'B = a,\,\,BN = a\sqrt 3 ,\,A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2},\,\,BM\)là trung tuyến nên

\(B{M^2} = \dfrac{{B{N^2} + A'{B^2}}}{2} - \dfrac{{A'{N^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{11{a^2}}}{8} \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}\)

Xét \(\Delta BMC\) có: \(\cos \widehat {BMC} = \dfrac{{B{M^2} + C{M^2} - B{C^2}}}{{2.BM.CM}} = \dfrac{{\dfrac{{11{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{8} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.