Cho hình chóp \(S.ABC\) có SA vuông góc với đáy, \(SA = 2BC\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Hình

Câu hỏi số 291563:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có SA vuông góc với đáy, \(SA = 2BC\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Hình chiếu của A trên các đoạn SB, SC lần lượt là M, N. Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AMN} \right)\).

A. \(45^\circ \).

B. \(60^\circ \).

C. \(15^\circ \).

D. \(30^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291563

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC,\,\,D\)là điểm đối xứng của A qua O

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BD\\SA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BD \bot AM\).

Mà \(AM \bot SB\,\,\, \Rightarrow AM \bot \left( {SBD} \right)\,\, \Rightarrow AM \bot SD\)

Tương tự: \(AN \bot SD\)

Vậy \(SD \bot \left( {AMN} \right)\), mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;AD} \right) = \widehat {A\,SD}\) vì \(\Delta SAD\) vuông tại A. Ta có: \(\tan \widehat {ASD} = \dfrac{{AD}}{{SA}}\)

Mà \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) nên \(AD = \dfrac{{BC}}{{\sin 120^\circ }} = \dfrac{{2BC}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{SA}}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy, \(\tan \widehat {ASD} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = 30^\circ \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.