Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,(AB < AC)\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AC\) cắt

Câu hỏi số 291615:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,(AB < AC)\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\,\,(D \ne C)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(DC.\) Tia \(OH\) cắt cạnh \(AB\) tại \(E\) . Chứng minh:

a) \(AD\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

b) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

c) Tứ giác \(OHDK\) là hình chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291615

Phương pháp giải

a) Ta có tam giác có 1 cạnh là đường kính của 1 đường tròn thì góc đối diện với cạnh ấy là góc vuông.

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tiếp tuyến.

c) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ADC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) đường kính \(AC\)

\( \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại \(D\)

\( \Rightarrow AD \bot BC\) tại \(D\)

\( \Rightarrow AD\) là đường cao của tam giác \(ABC\)

b) Ta có \(\Delta AOD\)cân tại \(O\,\,(OA = OD = R)\).

Mà \(OH\) là đường trung tuyến (\(H\) là trung điểm của \(AD\))

\( \Rightarrow OH\) là đường phân giác của \(\angle AOD\)

\( \Rightarrow \angle AOH = \angle DOH\)

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta DOE\) ta có:

\(\begin{array}{l}EO\;chung\\\angle DOE = \angle AOE\;\;\left( {cmt} \right)\\OA = OD\;\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta AOE = \Delta DOE\,\,(c - g - c).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle EAO = \angle EDO\)(hai góc tương ứng)

Mà \(\angle EAO = {90^0}\,\,(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))\( \Rightarrow \angle EDO = {90^0}\,\,\, \Rightarrow ED \bot OD\)

Mà \(D\) thuộc \((O)\,\, \Rightarrow DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

c) Ta có \(H\) là trung điểm của dây cung \(AD\) của \((O)\)

\( \Rightarrow OH \bot AD\) tại \(H\) (đường kính – dây cung)

Hay \(\angle OHD = {90^0}\)

Ta có \(K\) là trung điểm của dây cung \(DC\) của \((O)\)

\( \Rightarrow OK \bot DC\) tại \(K\) (đường kính – dây cung)

Hay \(\angle OKD = {90^0}\)

Mà \(AD \bot DC \Rightarrow \angle HDO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OHDK\) ta có: \(\angle OHD = \angle HDK = \angle DKO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OHDK\) là hình chữ nhật. (dhnb)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link