Cho \(\left( S \right)\) là một mặt cầu cố định có bán kính \(R\). Một hình trụ \(\left( H
Cho \(\left( S \right)\) là một mặt cầu cố định có bán kính \(R\). Một hình trụ \(\left( H \right)\) thay đổi nhưng luôn có hai đường tròn đáy nằm trên \(\left( S \right)\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và \({V_2}\) là thể tích lớn nhất của khối trụ \(\left( H \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.
+) Biểu diễn đường cao h của hình trụ theo R và r.
+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\) và công thức tính thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).
Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.
Khi đó, đường cao của khối trụ là
\(h = OO' = 2.OI = 2.\sqrt {I{A^2} - O{A^2}} = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} \)
Thể tích khối cầu là: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)
Thể tích khối trụ là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.2\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \)
Ta có: \(\frac{1}{4}{r^4}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{{{r^2}}}{2}.\frac{{{r^2}}}{2}.\left( {{R^2} - {r^2}} \right) \le {\left( {\frac{{\frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{r^2}}}{2} + \left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{{R^2}}}{3}} \right)^3} \Rightarrow {r^4}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) \le \frac{{4{R^6}}}{{27}}\)
\( \Rightarrow {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \, \le \frac{{2{R^3}}}{{3\sqrt 3 }} \Rightarrow 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \, \le \frac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow {V_2} = \max \left( {{V_{tru}}} \right) = \frac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\) khi và chỉ khi \(\frac{{{r^2}}}{2} = {R^2} - {r^2} \Leftrightarrow \frac{3}{2}{r^2} = {R^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{2}{3}} R\).
Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\frac{4}{{3\sqrt 3 }}\pi {R^3}}} = \sqrt 3 \).
Chọn: C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
