Chứng minh rằng với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\).

Câu hỏi số 294688:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = {x^2} - 2y + 10\).

A. \(\min Q = 1\)

B. \(\min Q = 2\)

C. \(\min Q = 0\)

D. \(\min Q = - 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:294688

Phương pháp giải

Tìm nghiệm của hệ theo m để chứng minh hệ có nghiệm duy nhất từ đó biến đổi Q về phương trình bậc 2 để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Với \(m \ne - 1\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {m^2} + 3\\x - y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + x + 4 = {m^2} + 3\\y = x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x = {m^2} - 1\\y = x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 1\\y = m + 3\end{array} \right.\)

Vậy với mọi \(m \ne - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right) = \left( {m - 1;m + 3} \right)\)

\(Q = {x^2} - 2y + 10 = {x^2} - 2\left( {x + 4} \right) + 10 = {x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2.\)

Vậy \(\min Q = 1\) đạt được khi \(m = 2.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link