Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) không có điểm chung

Câu hỏi số 294689:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) không có điểm chung với đường tròn \(\left( O \right)\), H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\left( \Delta \right)\). Từ điểm M bất kỳ trên \(\left( \Delta \right)\) (\(M \ne H\)), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn \(\left( O \right)\) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH.

1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\).

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số \(\frac{{OE}}{{OM}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:294689

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(AK = BK\) dựa vào chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra \(AB = 2AK\). Chứng minh H, A, B cùng nhìn OM dưới một góc bằng nhau từ đó suy ra M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(\Delta OIK \sim \Delta OMH\) từ đó sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng trong tam giác vuông để suy ra đpcm.

3. Gọi F là trung điểm của AN. Chứng minh \(\frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OF}}{{OA}}\) dựa vào Ta-lét từ đó tính \(\frac{{OF}}{{OA}}\) để suy ra \(\frac{{OE}}{{OM}}\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

Có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle AMK = \angle BMK\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta BMK\) có: MK chung ; \(\angle AMK = \angle BMK\); \(MA = MB\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AMK = \Delta BMK\;\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow AK = BK\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AB = AK + BK = AK + AK = 2AK\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Ta có: \(\angle OHM = \angle OAM = \angle OBM = {90^o}\) (\(OH \bot \left( \Delta \right)\) và MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \) H, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\( \Rightarrow \) M, A, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính OM (đpcm).

2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\).

Có \(\Delta AMK = \Delta BMK\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle AKM + \angle BKM = {180^o}\)

\( \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM = {90^o} \Rightarrow AB \bot MN \Rightarrow \angle OKI = {90^o}\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\angle O\) chung ; \(\angle OKI = \angle OHM = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OMH\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow OI.OH = OK.OM.\)

Xét \(\Delta BOM\) vuông tại B đường cao BK ta có:

\(OK.OM = O{B^2} = {R^2}\)

\( \Rightarrow OI.OH = OK.OM = {R^2}\) (đpcm)

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số \(\frac{{OE}}{{OM}}\).

Ta có hai tiếp tuyến \(MA,\;\;MB\) cắt nhau tại \(M \Rightarrow MA = MB\,\,\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có \(\,\,OA = OB = R\;\;\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) OM là đường trung trực của .\(AB \Rightarrow EA = EB\;\;\left( {E \in OM} \right)\).

Mặt khác \(EB = EN\) (E thuộc đường trung trực của BN) \( \Rightarrow EA = EN\) (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow \Delta AEN\) cân tại E (định nghĩa)

Gọi F là trung điểm của AN thì EF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta AEN\) cân tại E

\( \Rightarrow EF \bot OA\) mà \(OA \bot MA\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow EF//MA\) (từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta OAM\) có \(EF//MA\) nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OF}}{{OA}}\)

Vì \(AN = 2ON\) và F là trung điểm của AN nên \(AF = FN = ON \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OE}}{{OM}} = \frac{2}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link