Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t -

Câu hỏi số 295908:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right.\)

A. \(\left( {x;\,y;\,z;\,t} \right) = \left\{ {\left( {0;0;0;0} \right);\left( { - 1; - 1; - 1; - 1} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {x;\,y;\,z;\,t} \right) = \left\{ {\left( {0;0;0;0} \right);\left( {2;2;2;2} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {x;\,y;\,z;\,t} \right) = \left\{ {\left( {1;1;1;1} \right);\left( {2;2;2;2} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {x;\,y;\,z;\,t} \right) = \left\{ {\left( {0;0;0;0} \right);\left( {1;1;1;1} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:295908

Phương pháp giải

+) Biến đổi hệ phương trình ban đầu bằng cách đặt \(1 - x = a\) tương tự với y, z, t.

+) Đưa về hệ mới.

+) Sử dụng bất đẳng thức để tìm nghiệm tại dấu “=”

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} = 1 - y \ge 0\\{\left( {1 - y} \right)^2} = 1 - z \ge 0\\{\left( {1 - z} \right)^2} = 1 - t \ge 0\\{\left( {1 - t} \right)^2} = 1 - x \ge 0\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b = 1 - y \ge 0\\c = 1 - z \ge 0\\d = 1 - t \ge 0\\a = 1 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\)

+) Xét \(a = 0 \Rightarrow b = c = d = 0 \Rightarrow x = y = z = t = 1\)

+) Xét \(a \ne 0 \Rightarrow b;c;d \ne 0\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\) nhân theo vế ta có \({\left( {abcd} \right)^2} - abcd = 0 \Leftrightarrow abcd = 1\)( vì \(abcd \ne 0\))

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b \ge 0\\{b^2} = c \ge 0\\{c^2} = d \ge 0\\{d^2} = a \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = a + b + c + d\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2{d^2} - 2a + 2b + 2c + 2d = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 = 0\end{array}\)

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 4\sqrt[4]{{{a^2}{b^2}{c^2}{d^2}}} = 4\)

\( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = d = 1 \Rightarrow x = y = z = t = 0\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y;z;t} \right)\)là \(\left( {0;0;0;0} \right);\left( {1;1;1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link