Giả sử \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a -

Câu hỏi số 295905:

Vận dụng cao

Giả sử \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{x^2} + {y^2} = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right.\). Xác định \(a\) để tích \(xy\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó .

A. \(a = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{2}\)

B. \(a = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\)

C. \(a = \frac{{ - 4 + \sqrt 2 }}{2}\)

D. \(a = \frac{{ - 4 - \sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:295905

Phương pháp giải

Tính tổng và tích \(x + y = S;xy = P\).

Khi đó x;y là nghiệm của phương trình \({t^2} - St + P = 0\)

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

Kết hợp với điều kiện xy min để tìm a.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{x^2} + {y^2} = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{\left( {2a - 1} \right)^2} - 2xy = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\xy = \frac{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - {a^2} - 2a + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\xy = \frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm khi :

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} \ge 4.\frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2} \Leftrightarrow \frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} \le a \le \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( * \right)\)

Mặt khác \(xy = \frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2} = \frac{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}}{2}\)

Với \(\frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} \le a \Rightarrow xy = \frac{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}}{2} \ge \frac{{3{{\left( {\frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} - 1} \right)}^2} + 1}}{2}\)

Vậy min xy khi \(a = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link