Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4\) và \(\left|

Câu hỏi số 297769:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4\) và \(\left| {z - 1 - i} \right| = \left| {z - 3 + 3i} \right|\) ?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297769

Phương pháp giải

+) Gọi số phức \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

+) Từ mỗi giải thiết đã cho, tìm đường biểu diễn số phức z.

+) Tìm giao điểm của đường biểu diễn số phức z ở giả thiết thứ nhất và thứ 2.

Giải chi tiết

Gọi số phức \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

Từ giả thiết thứ nhất ta có :

\({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2.2\left| a \right| - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 4a - 4 = 0\\{a^2} + {b^2} + 4a - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các số phức z là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x - 4 = 0\) hoặc \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 4x - 4 = 0\).

Từ giả thiết thứ hai ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {z - 1 - i} \right| = \left| {z - 3 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a - 1 + bi - i} \right| = \left| {a - 3 + bi + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2a + 1 - 2b + 1 = - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a - 8b - 16 = 0\\ \Leftrightarrow a - 2b - 4 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các số phức z là đường thẳng \(x - 2y - 4 = 0\,\,\left( d \right)\).

Vậy số phức thỏa mãn 2 giả thiết trên là số giao điểm của \(d\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_2}} \right)\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy có 3 giao điểm của \(d\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_2}} \right)\). Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

CHỌN B.

Chú ý khi giải

Sau khi tìm ra các đường biểu diễn số phức z, học sinh có thể làm tiếp theo phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.