Trong một giải đấu thể thao có n đội tham dự \(n \ge 2\), luật đấu như sau: Hai đội bất kì

Câu hỏi số 298259:

Vận dụng cao

Trong một giải đấu thể thao có n đội tham dự \(n \ge 2\), luật đấu như sau: Hai đội bất kì luôn đấu với nhau đúng một trận. Sau một trận, đội thắng được 2 điểm, đội thua 0 điểm và hòa nhau cả hai đội được 1 điểm. Sau giải đấu các đội xếp hạng theo thứ tự từ cao xuống thấp( bằng điểm xếp cùng hạng). Hỏi điểm chênh lệch lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu?

A. \(n - 2\) điểm

B. \(n - 1\) điểm

C. \(n\) điểm

D. \(n + 1\) điểm

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298259

Giải chi tiết

Lời giải được gửi bởi: diukhue@gmail.com

Xếp các đội bóng theo điểm từ cao xuống thấp và gọi các đội đó là : \({A_1};\,\,{A_2};\,......;\,\,{A_n}\) với số điểm tương ứng là \({d_1};\,\,{d_2};.....;\,\,{d_n}.\)

Ta cần chứng minh : \({d_k} - {d_{k + 1}} \le n\,\,\forall k \in D\left\{ {1;\,\,2;\,\,.....;\,\,n - 1} \right\}.\)

Nhận xét : Với \(m\) đội bóng thì số trận đầu là \(\frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2} \Rightarrow \) tổng số điểm các trận là \(m\left( {m - 1} \right).\)

Gọi \(T\) là tổng số điểm của \(n\) đội đã cho \( \Rightarrow T = n\left( {n - 1} \right).\)

Giả sử có \(k \in D\) sao cho \({d_k} - {d_{k + 1}} > n.\)

+) Nếu \(k = n - 1 \Rightarrow {d_{n - 1}} - {d_n} > n \Rightarrow {d_{n - 1}} > n.\)

\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = T = {d_1} + {d_2} + .... + {d_{n - 1}} + {d_n} \ge \left( {n - 1} \right).{d_{n - 1}} > \left( {n - 1} \right)n\,\,\,\,\,\,\) (vô lý)

+) Nếu \(1 \le k \le n - 1\) ta có : Từ \({A_{k + 1}}\) đến \({A_n}\) có \(n - k\) đội

\( \Rightarrow \) Tổng số điểm của các đội này lớn hơn hoặc bằng\(\left( {n - k} \right)\left( {n - k - 1} \right)\) (theo nhận xét trên)

Mà \({A_{k + 1}}\) có số điểm lớn nhất \( \Rightarrow {d_{k + 1}} \ge n - k - 1 \Rightarrow {d_k} > {d_{k + 1}} + n \ge 2n - k - 1.\)

Vậy ta có : \({d_1} \ge {d_2} \ge ........ \ge {d_k} > 2n - k + 1.\)

\( \Rightarrow {d_1} + {d_2} + ...... + {d_k} > k\left( {2n - k - 1} \right).\)

Vậy ta có :

\(\begin{array}{l}n\left( {n - 1} \right) = T = \left( {{d_1} + {d_2} + ...... + {d_k}} \right) + \left( {{d_{k + 1}} + {d_{k + 2}} + ..... + {d_n}} \right)\\ \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) > k\left( {2n - l - 1} \right) + \left( {n - k} \right)\left( {n - k - 1} \right)\\ \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) > 2kn - {k^2} - k + {n^2} - kn - n - kn + {k^2} + k\\ \Rightarrow {n^2} - n > {n^2} - n\,\,\,\left( {vo\,\,\,ly} \right)\end{array}\)

Vậy \({d_k} - {d_{k + 1}} \le n\,\,\,\forall k \in D.\)

Ta chỉ ra 1 trường hợp xảy ra dấu ‘’=’’ : \({A_1}\) thắng hết các đội, các đội còn lại hòa nhau

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 2\left( {n - 1} \right)\\{d_2} = {d_3} = .... = n - 2\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} - {d_2} = n.\)

Vậy \(\mathop {Max}\limits_{k \in D} \left( {{d_k} - {d_{k + 1}}} \right) = n\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link