Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + xy +

Câu hỏi số 299368:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} = x + y\\x\sqrt {2xy + 5x + 3} = 4xy - 5x - 3\end{array} \right.\)

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {-3;3} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;-3} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {-3;-3} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299368

Phương pháp giải

Sử dung bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ chứng minh phương trình 1 có : \(VP \ge VT\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \ge \frac{{\left| {x + y} \right|}}{2}\\
\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} \ge \frac{{\left| {x + y} \right|}}{2}\\\Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} \ge \left| {x + y} \right| \ge x + y
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[(x = y \ge 0\)

Thay x = y vào phương trình còn lại ta có: \(x\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = 4{x^2} - 5x - 3\)

Để ý rằng x = 0 không phải là nghiệm.

Ta xét x > 0, chia phương trình cho \({x^2}\) thì thu được: \(\sqrt {2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} = 4 - \left( {\frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)\).

Đặt \(t = \sqrt {2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} > 0\) ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}t = 4 - \left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2\\\Leftrightarrow 2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{5}{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\\frac{1}{x} = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\)

Vậy đáp án đúng là A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link