Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} + \sqrt {13 - y} = 2\sqrt 5 \\\sqrt {y - 3} +

Câu hỏi số 299370:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} + \sqrt {13 - y} = 2\sqrt 5 \\\sqrt {y - 3} + \sqrt {13 - z} = 2\sqrt 5 \\\sqrt {z - 3} + \sqrt {13 - x} = 2\sqrt 5\end{array} \right.\)

A. \(x = y = z = 6\)

B. \(x = y = z = 7\)

C. \(x = y = z = 8\)

D. \(x = y = z = 9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299370

Phương pháp giải

+) Cộng vế theo vế hai hệ phương trình.

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki chứng minh \(VP \ge VT\).

Giải chi tiết

Điều kiện: \(3 \le x,y,z \le 13\).

Cộng ba phương trình vế theo vế, ta được: \(\sqrt {x - 3} + \sqrt {13 - x} + \sqrt {y - 3} + \sqrt {13 - y} + \sqrt {z - 3} + \sqrt {13 - z} = 6\sqrt 5 \).

Xét: \(T = \sqrt {t - 3} + \sqrt {13 - t} ;t \in \left[ {3;13} \right]\). Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}T = \sqrt {t - 3} + \sqrt {13 - t} \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right)\left( {t - 3 + 13 - t} \right)} = 2\sqrt 5 \\\sqrt {x - 3} + \sqrt {13 - x} + \sqrt {y - 3} + \sqrt {13 - y} + \sqrt {z - 3} + \sqrt {13 - z} \le 6\sqrt 5 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(t - 3 = 13 - t \Leftrightarrow 2t = 16 \Leftrightarrow t = 8\).

Vậy hệ phương trình có một nghiệm \(x = y = z = 8\).

Vậy đáp án đúng là C

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link