Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\x\sqrt {x - 1}

Câu hỏi số 299364:

Vận dụng cao

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\x\sqrt {x - 1} - y\sqrt {x - 1} = x + 1\end{array} \right.\)

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;-2} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {-5;2} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;5} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299364

Phương pháp giải

+) Phân tích nhân tử phương trình 1 bằng cách coi phương trình 1 là phương trình bậc 2 ẩn x hoặc y.

+) Tính theo công thức nghiệm biểu diễn x theo y.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\sqrt {x - 1} - y\sqrt {x - 1} = x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

ĐK: \(x \ge 1\) .

Xét phương trình (1) của hệ ta có:

\(xy + x + y = {x^2} - 2{y^2} \Leftrightarrow {x^2} - x\left( {y + 1} \right) - 2{y^2} - y = 0\).

Ta coi đây là phương trình bậc 2 của x thì ta có:

\(\Delta = {\left( {y + 1} \right)^2} + 8{y^2} + 4y = 9{y^2} + 6y + 1 = {\left( {3y + 1} \right)^2}\).

Từ đó suy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{y + 1 - 3y - 1}}{2} = - y\\
x = \dfrac{{y + 1 + 3y + 1}}{2} = 2y + 1\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: x = -y.

Từ phương trình \((2)\) của hệ ta có:

\(\begin{array}{l}x\sqrt {x - 1} + x\sqrt {x - 1} = x + 1\\ \Leftrightarrow 2x\sqrt {x - 1} = x + 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2}\left( {x - 1} \right) = {x^2} + 2x + 1\,\,\left( {do\,\,x \ge 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 5{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array}\)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm nguyên.

Trường hợp 2: \(x = 2y + 1 \Rightarrow y \ge 0\) thay vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {2y + 1} \right)\sqrt {2y} - y\sqrt {2y} = 2y + 2 \Leftrightarrow y\sqrt {2y} + \sqrt {2y} = 2\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {\sqrt {2y} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2y} - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow x = 5\end{array}\)

Vậy hệ có một cặp nghiệm nguyên: \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link