Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi }

Câu hỏi số 302055:

Thông hiểu

Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi } \right]\).

A. 7

B. 6

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302055

Phương pháp giải

Xét hai trường hợp:

TH1: \(\cos x = 0\).

TH2: \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\).

Giải chi tiết

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó phương trình trở thành \(1 = 1\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{5}{2}\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \sqrt 3 \tan x = 1 + {\tan ^2}x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{6} + k\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{{17}}{6}\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.