Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3}

Câu hỏi số 302063:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right)\), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng \(8\sqrt 2 \) với \(I\left( {1;3} \right)\).

A. 3

B. 8

C. 1

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302063

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {I;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}d\left( {I;d} \right).BC \Rightarrow BC = \dfrac{{2{S_{\Delta IBC}}}}{{d\left( {I;d} \right)}}\).

+) Sử dụng công thức tính độ dài \(BC = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}} \).

+) Áp dụng định lí Vi-ét tìm m.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4 \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0\\m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ne - 2\end{array} \right.\).

Khi đó \({x_B};{x_C}\) là 2 nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2m\\{x_B}{x_C} = m + 2\end{array} \right.\).

Ta có \({S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {I;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}d\left( {I;d} \right).BC \Rightarrow BC = \dfrac{{2{S_{\Delta IBC}}}}{{d\left( {I;d} \right)}}\).

Mà \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Rightarrow BC = \dfrac{{2.8\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 16\).

Ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_C}} \right)^2} = {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} + {\left( {{x_B} + 4 - {x_C} - 4} \right)^2} = 2{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_B} - {x_C}} \right)^2} = 128 \Rightarrow {\left( {{x_B} + {x_C}} \right)^2} - 4{x_B}{x_C} = 128\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right) = 128 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32 \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\end{array}\)

Phương trình bậc hai ẩn m có 2 nghiệm phân biệt \({m_1},\,\,{m_2}\) và \({m_1} + {m_2} = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.