Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba

Câu hỏi số 302064:

Vận dụng

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính tổng các phần tử của S.

A. \(\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\)

C. \(0\)

D. \(\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302064

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị. Xác định các điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.

+) Tính diện tích tam giác ABC, sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC\).

+) Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\) trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\). Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m + {m^4} \Rightarrow A\left( {0;2m + {m^4}} \right)\\x = \sqrt m \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(d\left( {A;BC} \right) = \left| {{m^4} + 2m - {m^4} + {m^2} - 2m} \right| = {m^2}\) ; \(BC = 2\sqrt m \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}{m^2}.2\sqrt m = {m^2}\sqrt m \).

Ta có : \(A{B^2} = m + {m^4} = A{C^2}\).

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m = \dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right)2\sqrt m }}{4} \Leftrightarrow m + {m^4} = 2{m^2}\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0(ktm)\\m = 1\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}(ktm)\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\end{array}\)

Khi đó tổng các phần tử của S là \(1 + \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.