Cho khốic chóp \(SABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AB = 3,\;AD = 4,\;\angle BAD = {120^0}.\) Cạnh bên

Câu hỏi số 302882:

Vận dụng cao

Cho khốic chóp \(SABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AB = 3,\;AD = 4,\;\angle BAD = {120^0}.\) Cạnh bên \(SA = 2\sqrt 3 \) vuông góc với đáy. Gọi \(M,\;N,\;P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA,\;AD\) và \(BC,\;\;\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right).\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. \(\alpha \in \left( {{{60}^0};\;{{90}^0}} \right)\)

B. \(\alpha \in \left( {{0^0};\;{{30}^0}} \right)\)

C. \(\alpha \in \left( {{{30}^0};\;{{45}^0}} \right)\)

D. \(\alpha \in \left( {{{45}^0};\;{{60}^0}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302882

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến chung của hai mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//SD\\NP//CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAC} \right),\;\left( {MNP} \right)} \right) = \angle \left( {\left( {SAC} \right),\;\left( {SCD} \right)} \right) = \alpha .\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu của H xuống SC

\( \Rightarrow \alpha = \angle AKH.\)

Ta có: \({V_{SACD}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SA.2{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.SA.AB.AD.\sin \angle BAD = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.3.4.\sqrt 3 .2\sqrt 3 = 6.\)

Có: \(A{C^2} = 13 \Rightarrow S{C^2} = S{A^2} + A{C^2} = 25.\)

\(\begin{array}{l}SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {12 + 16} = \sqrt {28} \\ \Rightarrow {S_{SCD}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 .\\ \Rightarrow AH = d\left( {A;\;\left( {CSD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{SACD}}}}{{{S_{SCD}}}} = \frac{{3.6}}{{3\sqrt 6 }} = \sqrt 6 .\\AK = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2\sqrt {39} }}{5}.\\ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{AH}}{{AK}} = \sqrt 6 .\frac{5}{{2\sqrt {39} }} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{26}} \Rightarrow \alpha \in \left( {{{60}^0};\;{{90}^0}} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.