Cho tam giác ABC vuông tại A có\(AB > AC\). Lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Qua M kẻ
Cho tam giác ABC vuông tại A có\(AB > AC\). Lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt đoạn thẳng AB tại điểm I, cắt đường thẳng AC tại điểm D.
Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:
Ta có: \(\angle CM{\rm{D = 9}}{{\rm{0}}^0}\) (theo giả thiết \(M{\rm{D}} \bot BC\))
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta M{\rm{D}}C\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle C:\;chung\\\angle CAB = \angle CM{\rm{D}} = {90^0}\end{array}\)
\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta M\text{D}C\ (g-g)\) (đpcm)
Ta có: \(\angle BMI = {90^0}\) (theo giả thiết \(M{\rm{D}} \bot BC\))
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MBI\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle B:\;chung\\\angle BAC = \angle BMI = {90^0}\end{array}\)\(\)
\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta MBI\ (g-g)\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{BI}} \Leftrightarrow BI.AB = MB.BC \Leftrightarrow BI.BA = BM.BC\) (đpcm)
Ta có: \(\frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{BI}} \Leftrightarrow \frac{{MB}}{{BI}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)
Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta BIC\) ta có:
\(\)\(\frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) (chứng minh trên)
\(\)\(\angle B:\;chung\)
\(\Rightarrow \Delta BMA\backsim \Delta BIC\ (c-g-c)\)
\( \Rightarrow \angle BAM = \angle BCI \Leftrightarrow \angle BAM = \angle ICB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (đpcm)
Xét tam giác BCD có AB và DM là đường cao.
Suy ra I giao của 2 đường cao AB và DM là trực tâm của tam giác BCD.
\( \Rightarrow CI\) là đường cao của tam giác BCD.
\( \Rightarrow \angle IKB = {90^0}\)
Xét \(\Delta CAI\) và \(\Delta BKI\) ta có:
\(\angle IAC = \angle IKB = {90^0}\)
\(\angle AIC = \angle KIB\) (cặp góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow \Delta CAI\backsim \Delta BKI\ (g-g)\)
\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IK}} = \frac{{IC}}{{IB}} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}\)
Xét \(\Delta IAK\) và \(\Delta ICB\) ta có:
\(\angle AIK = \angle CIB\) (cặp góc đối đỉnh)
\(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \Delta IAK\backsim \Delta ICB (g - g)\)
\( \Rightarrow \angle IAK = \angle ICB\;(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle IAK = \angle BAM\). Hay AB là phân giác của \(\angle MAK\).
AM là phân giác \(\angle CAB \Rightarrow \angle MAB = {45^0}\)
Mà \(\angle MAB = \angle ICB\) (chứng minh câu c)
\( \Rightarrow \angle ICB = {45^0}\)
\(\Delta KBC\) vuông tại K có \(\angle KCB = {45^0}\)
\( \Rightarrow \angle CBK = {45^0}\)
\(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông tại M có \(\angle MB{\rm{D}} = {45^0}\)
\( \Rightarrow \angle M{\rm{D}}B = {45^0}\)
Hay \(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông cân tại M. \( \Rightarrow MB = M{\rm{D}}\).
\(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}}\)có AM là phân giác.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} = B{C^2} \Rightarrow BC = 10\;cm\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\) \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MB + MC}}{{AB + AC}} = \frac{5}{7}\)
\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{5}{7} \Rightarrow MB = \frac{{40}}{7} \Rightarrow MD = MB = \frac{{40}}{7}\)
Vậy \({S_{\Delta CB{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}.CB.DM = \frac{1}{2}.10.\frac{{40}}{7} = \frac{{200}}{7}\;c{m^2};\,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\;c{m^2}\)\(\)
\(\Delta ABC\) có AM là phân giác:
\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{{{S_{\Delta BMA}}}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{3} = \frac{{{S_{\Delta BMA}}}}{4} = \frac{{{S_{\Delta CMA}} + {S_{\Delta BMA}}}}{{3 + 4}} = \frac{{24}}{7} \Rightarrow {S_{\Delta CMA}} = \frac{{72}}{7}\;c{m^2}\)
Vậy \({S_{AMB{\rm{D}}}} = {S_{\Delta CB{\rm{D}}}} - {S_{\Delta CMA}} = \frac{{200}}{7} - \frac{{72}}{7} = \frac{{128}}{7}\;c{m^2}\)
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
