Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là: \(V = Sh.\)
Gọi chiều cao của khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) là \(AA' = x.\)
Khi đó ta có: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}x\sqrt 3 }}{4}.\)
Ta có: \({V_{AA'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}x\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}x\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C' \Rightarrow AM \bot B'C'.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(\begin{array}{l}AB' = AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'B{'^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} .\\ \Rightarrow AM = \sqrt {AB{'^2} - B'{M^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} .\\ \Rightarrow {S_{AB'C'}} = \dfrac{1}{2}AM.B'C' = \dfrac{1}{2}.a.\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} .\end{array}\)
Lại có: \({V_{AA'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{S_{AB'C'}}.d\left( {A';\;\left( {AB'C'} \right)} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{AB'C'}} = \dfrac{{3{V_{AA'B'C'}}}}{{d\left( {A';\left( {AB'C'} \right)} \right)}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^2}x\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}}} = \dfrac{{ax\sqrt {19} }}{8}.\\ \Rightarrow \dfrac{{ax\sqrt {19} }}{8} = \dfrac{1}{2}a\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{ax\sqrt {19} }}{4} = a.\dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 3{a^2}} }}{2}\\ \Leftrightarrow x\sqrt {19} = 2\sqrt {4{x^2} + 3{a^2}} \Leftrightarrow 19{x^2} = 16{x^2} + 12{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} = 12{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a.\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}.2a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
