Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} \ge \dfrac{{6x -

Câu hỏi số 303731:

Vận dụng cao

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó giá trị của biểu thức \(P = 3a - 2b\) bằng :

A. 1

B. -2

C. 2

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303731

Phương pháp giải

Nhân liên hợp với biểu thức ở VT, chuyển vế, đưa bất phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết

ĐK: \( - 2 \le x \le 2\).

Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} } \right)}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4 - 4\left( {2 - x} \right)}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 4}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left( {6x - 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \ge 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(5\sqrt {{x^2} + 1} \ge 5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{5} \Rightarrow - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge - \dfrac{1}{5}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} = \sqrt 2 \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {2 - x} \le \sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} \right]\left( {x + 2 + 2 - x} \right)} = \sqrt {6.4} = 2\sqrt 6 < 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} > \dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\end{array}\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 6x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{2}{3};2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 3a - 2b = - 2\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.