Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 8.\) Tính GTLN của biểu thức: \(M =

Câu hỏi số 304190:

Vận dụng cao

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 8.\) Tính GTLN của biểu thức: \(M = \left| {{x^3} - {y^3}} \right| + \left| {{y^3} - {z^3}} \right| + \left| {{z^3} - {x^3}} \right|\).

A. \(Max\;M = 16\)

B. \(Max\;M = 16\sqrt 2 \)

C. \(Max\;M = 32\sqrt 2 \)

D. \(Max\;M = 32\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304190

Phương pháp giải

+) Với dạng vai trò x, y, z như nhau ta có thể giả sử: \(x \ge y \ge z.\) Từ đó ta phá trị tuyệt đối và biến đổi biểu thức.

+) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương.

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: \(x \ge y \ge z.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left| {{x^3} - {y^3}} \right| + \left| {{y^3} - {z^3}} \right| + \left| {{z^3} - {x^3}} \right| = {x^3} - {y^2} + {y^3} - {z^3} - {z^3} + {x^3} = 2\left( {{x^3} - {z^3}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \left( {x - z} \right)\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right) = \sqrt {{{\left( {x - z} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \sqrt {{x^2} - 2xz + {z^2}} .\sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} .\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \sqrt {{x^2} - 2xz + {z^2}} .\sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} \le \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} - 2xz + {z^2} + {x^2} + xz + {z^2} + {x^2} + xz + {z^2}}}{3}} \right)}^3}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} \le \sqrt {{{\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}^3}} \le \sqrt {{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^3}} = \sqrt {{8^3}} = 16\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow M \Leftrightarrow 32\sqrt {2.} \end{array}\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \\y = z = 0\end{array} \right..\)

Tương tự ta chứng minh với các TH :\(x \le y \le z...\)

Vậy \(Max\;M = 32\sqrt 2 \) khi \(\left( {x;\;y;\;z} \right) = \left( {2\sqrt 2 ;\;0;\;0} \right)\) và các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link