1) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC. Gọi M thuộc cạnh BC khác B và C, AM cắt (O)
1) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC. Gọi M thuộc cạnh BC khác B và C, AM cắt (O) tại D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt AB tại F khác B.
a) Chứng minh rằng tứ giác BECF nội tiếp.
b) Chứng minh 2 tam giác ECD và FBD đồng dạng và E, M, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng OA vuông góc EF.
2) Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh thỏa mãn điều kiện: \(B{C^2} = 2BC.AC + 4A{C^2}.\) Tính số đo góc \(\angle ABC.\)
Quảng cáo
1) Vẽ thêm tiếp tuyến At tại A của O, từ đó chứng minh EF // At.
2) Chia cả 2 vế cho cùng 1 biểu thức để đưa về phương trình bậc 2.
1) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC. Gọi M thuộc cạnh BC khác B và C, AM cắt (O) tại D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt AB tại F khác B.
a) Chứng minh rằng tứ giác BECF nội tiếp.
Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD.
Xét tứ giác BMDF nội tiếp đường tròn (I), ta có:
\(\angle ABM = \angle A{\rm{DF}}\) (tính chất góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\(\angle AMB = \angle A{\rm{FD}}\) (tính chất góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\( \Rightarrow \Delta ABM\sim \Delta {\rm{AD}}F\;\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AM}}{{AF}} \Rightarrow AB.AF = AD.AM\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Tương tự, xét tứ giác DMEC nội tiếp đường tròn (J) ta có:
\(\angle AEM = \angle ADC\) (tính chất góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\(\angle AMD = \angle ACD\) (tính chất góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\( \Rightarrow \Delta AME \sim \Delta ACD\;\;\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AM.AD\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AB.AF = AE.AC = \left( { = AM.AD} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta {\rm{AC}}F\;\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle A{\rm{E}}B = \angle AFC\) (các góc tương ứng)
Xét tứ giác BECF ta có: \(\angle AEB = \angle AFC\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow BECF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Chứng minh 2 tam giác ECD và FBD đồng dạng và E, M, F thẳng hàng.
Tứ giác BMDF nội tiếp đường tròn (I) nên:\(\angle FB{\rm{D}} = \angle FM{\rm{D}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FD)
Mà tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên \(\angle FB{\rm{D}} = \angle AC{\rm{D}}\) (tính chất góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\( \Rightarrow \angle FM{\rm{D}} = \angle AC{\rm{D}}\;\left( { = \angle FBD} \right)\)
Kết hợp với tứ giác MDCE nội tiếp đường tròn (J) nên ta có: \(\angle ACD + \angle EMD = {180^0}\) (tính chất)
\( \Rightarrow \angle FMD + \angle EMD = {180^0} \Rightarrow E,\;M,\;F\) thẳng hàng. (đpcm)
Xét hai tam giác ECD và BFD, ta có:
\(\angle FB{\rm{D}} = \angle DCE\) (tính chất góc ngoài tứ giác ABDC nội tiếp)
\(\angle B{\rm{DF = }}\angle {\rm{EDC}}\left( {\angle B{\rm{DF = }}\angle B{\rm{MF = }}\angle CME{\rm{ = }}\angle {\rm{EDC}}} \right)\)
Vì vậy \(\Delta EC{\rm{D}}\sim \Delta FB{\rm{D}}\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)
c) Chứng minh OA vuông góc EF.
Dựng đường kính AT của (O). Gọi K là giao điểm của EF và AO.
Ta có: \(\angle A{\rm{EF}}\;{\rm{ = }}\angle {\rm{AD}}C = \frac{1}{2}s{\rm{d}}\,\,cung\,\,AC\) (tính chất góc ngoài tứ giác MECD nội tiếp)
Mà \(\angle CAT = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,CT\) nên \(\angle A{\rm{EF + }}\angle {\rm{CAT = }}\frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AT = {90^o}\)
Xét \(\Delta AEK\) ta có: \(\angle AEF + \angle KAE + \angle AKE = {180^0} \Leftrightarrow {90^0} + \angle AKE = {180^0} \Leftrightarrow \angle AKE = {90^0}\)
\( \Rightarrow AO \bot EF\;\;\left( {dpcm} \right).\)
2) Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh thỏa mãn điều kiện: \(B{C^2} = 2BC.AC + 4A{C^2}.\) Tính số đo góc \(\angle ABC.\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;B{C^2} = 2BC.AC + 4A{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = 2.\frac{{BC}}{{AC}} + 4\;\;\;\left( {do\;\;AC > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} - 2.\frac{{BC}}{{AC}} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{BC}}{{AC}} = 1 + \sqrt 5 \;\;\left( {tm} \right)\\\frac{{BC}}{{AC}} = 1 - \sqrt 5 \;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = 1 + \sqrt 5 .\end{array}\)
\( \Rightarrow \sin \angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{{1 + \sqrt 5 }} \Rightarrow \angle ABC = {18^0}.\)
Vậy: \(\angle ABC = {18^0}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
