Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu

Câu hỏi số 304537:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right),\,\,B\left( {0; - 2;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\). Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:

A. 102

B. 78

C. 84

D. 52

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304537

Phương pháp giải

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

+) Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm J.

+) Khai triển biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách chèn điểm J.

+) Tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;0;3} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(J\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\overrightarrow {JA} = \left( {3 - a,\,\,1 - b,\,\, - 3 - c} \right);\,\,\overrightarrow {JB} = \left( { - a;\,\, - 2 - b;\,\,3 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} = \left( {3 - 3a;\,\, - 3 - 3b;\,\,3 - 3c} \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {1; - 1;\;1} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\T = M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + 2J{B^2}\\T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {\left( {\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{const}\end{array}\)

Do đó \({T_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }}\).

Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \left( {2; - 1; - 2} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó

\(M{J_{\max }} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)

Vậy \({T_{\max }} = {3.4^2} + \left( {{2^2} + {2^2} + {4^2}} \right) + 2.\left( {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \right) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.