Tổng số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\)

Câu hỏi số 305020:

Vận dụng

Tổng số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\) là

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{3}{4}\)

C. \(\frac{1}{4}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305020

Phương pháp giải

+) Đặt \(t = {\log _2}x\), đưa phương trình về phương trình ẩn t.

+) Quy đồng, bỏ mẫu, giải phương trình ẩn t, lưu ý ĐKXĐ, sau đó thay lại tìm nghiệm x.

+) Tính tổng các nghiệm x của phương trình ban đầu.

Giải chi tiết

\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \ne - 4\\{\log _2}x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne {2^{ - 4}}\\x \ne {2^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{1}{{16}}\\x \ne 4\end{array} \right..\)

Đặt \(t = {\log _2}x\). Khi đó phương trình đã cho trở thành: \(\frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1\,\,\left( {t \ne 2;\,\,t \ne - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 - t + 8 + 2t = - {t^2} - 2t + 8 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với \(t = - 1 \Rightarrow {\log _2}x = - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\).

+) Với \(t = - 2 \Rightarrow {\log _2}x = - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.