Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các mặt bên đều là hình vuông cạnh \(a.\) Khoảng cách giữa hai
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các mặt bên đều là hình vuông cạnh \(a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C'\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Nhận xét: \(d\left( {A'B;B'C'} \right) = d\left( {B'C';\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)\)
+) Tính khoảng cách dựa vào thể tích: \({V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}} \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}}\).
Do ABB’A’, BCC’B’ là hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AB\\BB' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {ABC} \right)\).
Lại có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow \Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) là các tam giác đều cạnh \(a\).
\( \Rightarrow \) Lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
Ta có \(BC//B'C' \Leftrightarrow B'C'//\left( {A'BC} \right)\) , do đó
\(d\left( {A'B;B'C'} \right) = d\left( {B'C';\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Lại có \({V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}} \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BH \bot AC\) và \(BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BH \bot \left( {A'CC'} \right)\).
\({S_{\Delta A'CC'}} = \frac{1}{2}A'C'.CC' = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}BH.{S_{\Delta A'CC'}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABA’ và ACA’ ta tính được \(A'B = A'C = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow \Delta A'BC\) cân tại \(A'\) . Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow A'K \bot BC\).
Xét tam giác vuông \(A'BK\) ta có: \(A'K = \sqrt {A'{B^2} - B{K^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{1}{2}.A'K.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 7 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
