Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3}

Câu hỏi số 305047:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\) có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:

A. \(0\)

B. \( - 33\)

C. \( - 4\)

D. \( - 34\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305047

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} - 3x + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} + 3\left( {x - 1} \right) = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà theo (*) ta có \(f\left( {x - 1} \right) = f\left( {\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} - m - 1 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} - m - 1\) ta có : \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = - m - 1\\x = 4 \Rightarrow g\left( 4 \right) = - 33 - m\end{array} \right.\)

Để phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có đúng 2 nghiệm thực thì hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 cực trị thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow \left( { - m - 1} \right)\left( { - 33 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 33\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow S = \left\{ { - 1; - 33} \right\}\). Vậy tổng các phần tử của S là \( - 1 - 33 = - 34\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.